September 15

Թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաներ, Ֆիբոնաչիի թվային շարքը

Առաջադրանքներ՝ շաբաթվա կտրվածքով

Թվաբանական պրոգրեսիա անվանում են այն թվային հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իր նախորդին գումարած միևնույն թիվը:
Եթե {an}-ը թվաբանական պրոգրեսիա է, ապա ցանկացած n բնական թվի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝  an+1=an+d (d  թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն):
Պրոգրեսիայի n-րդ անդամը  a1  առաջին անդամով  և  d տարբերությամբ արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝  an=a1+d(n1):  Թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, իր նախորդ և հաջորդ անդամների միջին թվաբանականն է, այսինքն՝  an=an1+an, որտեղ n=2,3,4,...

Երկրաչափական պրոգրեսիա անվանում են այն թվային հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իր նախորդ անդամը բազմապատկած զրոյից տարբեր միևնույն թվով: Եթե {an}-ը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա ցանկացած n բնական թվի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝   an+1=anq (q  թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար): Պրոգրեսիայի n-րդ անդամը  a1 առաջին անդամի և  q  հայտարարի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝   an=a1qn1: Երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, իր նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականն է, այսինքն՝
an=an1an+1,  որտեղ n=2,3,4,...

Հատկություններ՝
Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։
Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝  ։

Ֆիբոնաչիի թվեր կամ Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն, թվային հաջորդականություն, որում առաջին երկու թվերն են 0 և 1, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է նախորդ երկու թվերի գումարին։ Հաջորդականության կոչվում է ի պատիվ միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզացու, ով հայտնի է եղել, որպես Ֆիբոնաչի։ Ֆիբոնաչիի թվային հաջորդականությունը տրվում է   գծային ռեկուրենտ եղանակով.  

Ֆիբոնաչիի թվային շարքի օրինակ է՝ Ոսկե հատումը, արևածաղիկը, ծառի ճյուղերը և փաթիլը։

Հատկություններ՝
Ֆիբոնաչիի թվերը ունեն շատ հետքրքիր հատկություններ։ .Այստեղ դրանցից մի քանիսն են. .Կասիննիի արժեքը . Fn+1F n-1 – F n 2 = (-1) n ։ Լրացման օրենքը F n+k =F k F n + 1 + F k – 1 F n Նախորդ հավասարությունից հետևում է F 2n = Fn(F n+1 + F n-1) Նախորդ հավասարությունից ինդուկցիայի միջոցով կարող ենք ստանալ որ Fnk միշտ բազմապատիկ է Fn-ին։ Ճիշտ է և փոխադարձ հետևյալ պնդումը. Եթե Fm-ը «кратно» Fn- ին, ապա m-ը «кратно»(պատիկ) է n-ին։ “НОД” հավասարություն։  Ինչ վերաբերում է Էվկլիդի ալգորիթմին, Ֆիբոնաչչիի թվերը ավելի հիանալի հատկություններ ունեն։ Նրանք ամենավատ ալգորիթմական մուտք գործվող թվերն են։

September 15

Հոմանիշներ💛

Խրթին – դժվար – բարդ
անվեհեր – խիզախ – անահ
սքանչելի – հիանալի – հրաշագեղ
սին – փուչ – դատարկ
բաղձանք – իղձ – տենչանք

ապիկար – ապաշնորհ – անճարակ
կազդուրել – ապաքինել – առողջացնել
աչառու – կողմնակալ – անարդար
վարկաբեկել – անվանակել – հեղինակաղրկել
հրահրել – դրթել – մղել

September 15

Exercises

Exercise – Personal pronouns

Hello, my name’s Matthew and I am your new teacher.
Why did you invite Peter and Mary? You know they don’t really like parties.
Here’s my phone number. Phone me if you need any help.
I’m Sally and this is Ron, my husband. We live near Newcastle.
We’re going for something to eat. Do you want to come with ?
Where do you want these bags? Shall I put them in the kitchen?
Where’s Joanne? Has anyone seen her today?
John’s quit his job. He is going to start his own business.
My aunt’s visiting me next week. I hope she brings me a present.
Pierre asked me for your email address. Can I give it to him?
We’re going for something to eat. Do you want to come with us ?
1.A: We’re having a visitor from Britain next week.
B: That’s nice. Have they been to Poland before?

2.A: Where does Fatima work?
B: I’m not sure. I don’t know her very well.

3.A: Hello. Are you a friend of Tom’s?
B: Well, yes and no – he is my brother!

4.A: Somebody phoned while you were at lunch.
B: Oh. Did they leave a message?

5.A: We’ve got a new head of marketing at work.
B: Really? Have you met them yet?

6.A: What time is Bianca’s flight arriving?
B: I don’t know. She didn’t tell me.

1.Is English spoken here?
(Do / English / here? / speak / they)

Do you speak English here?

2.What’s the way from London to Oxford?
(do / from / get / How / London / Oxford? / to / you)

How do you get from London to Oxford?

3.The weather forecast says tomorrow will be sunny.
(be / say / sunny. / They / tomorrow / will)

They say tomorrow will be sunny.

4.The new road is opening next year.
(next / new / opening / road / the / They’re / year.)

They’re opening the new road next year.

5.Tickets can be bought on the train.
(buy / can / on / the / tickets / train. / You)

You can buy tickets on the train.

6.Anyone could see that she was surprised.
(could / see / she / surprised. / that / was / You)

You could see that she was surprised.
Don’t you remember? It’s me, Colin.
Hello, Sue. It is me, Poul. I’m on the train.
Who is it ? Can you speak up? I can’t hear you very well.
Look over there! It’s Karen. And who’s that guy with her?
Open the door! It’s the police!

Exercise 1 – Personal pronouns

  1. He is dreaming. (George)
  2. It is green. (the blackboard)
  3. They are on the wall. (the posters)
  4. It is running. (the dog)
  5. We are watching TV. (my mother and I)
  6. They are in the garden. (the flowers)
  7. He is riding his bike. (Tom)
  8. She is from Bristol. (Victoria)
  9. She has got a brother. (Diana)
  10. Have you got a computer, Mandy?

 

Exercise 2 – Personal pronouns

  1. I am sitting on the sofa.
  2. We are watching TV.
  3. Are  you from England?
  4. He is going home.
  5. They are playing football.
  6. It is a wonderful day today.
  7. We are speaking English.
  8. Is she Kevin’s sister?
  9. You are swimming in the pool.
  10. Are they in the cinema?

 

Exercise 1 – Subject and Object Pronouns

1. I like London.
2. The children are as hungry as us.
3. All students passed expect me.
4. A: Who’s there? B: Me
5.They love vegan food.
6. A: Is that the man you told me about? B: Yes, that’s him.
7. We all like cake except her.
8. He will get a new phone soon.
9. His sister isn’t as tall as him .
10. Is that chocolate for me?
11. She wants to go home early.
12. Everyone arrived on time but him .
13. Please keep up with us.
14.  A: Who ate all the chocolate? B: Her.
15. We have been to Rio.
16. Could you pass the coffee to her.
17. My brother is taller than me.
18. went to the bookshop yesterday.
19. Our new teacher is friendlier than her.
20. All the children came inside except them.

Possessives: pronouns 1

1.A: Whose book is this?
B: I don’t know. It isn’t my book.
= A: Whose book is this?
B: I don’t know. It isn’t mine.

2.
This is your toothbrush and this is her toothbrush.
= This is your toothbrush and this is hers.
3.
The blue car is George’s and the silver car is their car.
= The blue car is George’s and the silver car is theirs.
4.
I found this pen on the floor. Is it your pen?
= I found this pen on the floor. Is it  yours ?

5.

We can’t invite people to Lee’s flat! It’s not our flat.
= We can’t invite people to Lee’s flat! It’s not ours!
6.
My dessert was the ice cream and your dessert was the cake.
= My dessert was the ice cream and yours was the cake.
7.
Her university was in Leicester and his university was in Coventry.
= Her university was in Leicester and his was in Coventry.
8.
Shall we watch the match here or do you want to come to our house?
= Shall we watch the match here or do you want to come to ours?
Possessives: pronouns 2

1.This is Rachel. She’s one of my colleagues.
= This is Rachel. She’s a colleague of mine .

2.That’s Mauro. He’s one of our friends.
= That’s Mauro. He’s a friend of ours.

3.I’m Alex. I’m one of your students.

= I’m Alex. I’m a student of yours .

4.Who’s that lady next to Howard ? Is she one of his aunts?

= Who’s that lady next to Howard? Is she an aunt of his?
5.How do you know Karolina? Are you one of her classmates?
= How do you know Karolina? Are you a classmate of hers?
6.You look like Ben and Matthew. Are you one of their relatives?
= You look like Ben and Matthew. Are you theirs?

Possessive pronouns or Possessive determiners 

  1. Whose bike is this? Is it really his?
  2. Is he your teacher?
  3. Hey Ron! This is not our car. Ours is red.
  4. Lisa broke her left leg.
  5. This is my house, where’s theirs?
  6. Is this Emily’s room? – Yes, it’s hers.
  7. I lost my pen in the library. Can I have one of yours?
  8. Stop! – These sweets are all mine.
  9. Did you forget to do your homework yesterday? – No I didn’t. I did my homework.
  10. Are these really your shoes? – Yes, these are my shoes. – They are not yours.
September 15

Իրական թվեր

 

Իրական թվեր

 

Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:

 

Բնական թվերը, նրանց հակադիր թվերը և զրոն կազմում են ամբողջ թվերի բազմությունը՝ Z:

 

Ամբողջ թվերը և դրական ու բացասական կոտորակային թվերը կազմում են ռացիոնալ թվերի բազմությունը:

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են Q տառով:

Ստորակետից հետո թվանշանների կրկնվող խումբը կոչվում է պարբերություն, իսկ ինքը կոտորակը՝ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:  

 

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով:

 

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այսինքն՝ ցանկացած  անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է:

 

Ռացիոնալ չհանդիսացող թվերը, այսինքն, այն թվերը որոնք ամբողջ չեն և չեն ներկայացվում  m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում են իռացիոնալ թվեր:

 

Իռացիոնալ թիվ կոչվում է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը: Օրինակ՝ 0,547…557505…113456…

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերից բաղկացած թվային բազմությունը կոչվում է իրական թվերի բազմություն:

 

Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:

September 15

Համո Սահյան

Համո Սահյան, հայ, սովետական բանաստեղծ: Հայկական ԽՍՀ պետական մրցանակի դափնեկիր: ԽՍՀՄ գրողների միության անդամ 1939 թվականից: ԽՄԿԿ  անդամ 1946 թվականից:Համո Սահյանը ծնվել է 1914 թվականի ապրիլի14-ին Սիսիանի շրջանի Լոր գյուղում։ Սահյանը սկզբնական կրթությունը ստացել է տեղի դպրոցում, որտեղ իբրև ուսուցիչ աշխատել էին բանաստեղծներ Գառնիկ Քալաշյանը և Ակսել Բակունցը։ 1927 թվականին Հ. Սահյանը տեղափոխվել է Բաքու, որտեղ ստացել է միջնակարգ կրթություն։ 1935 թվականին ընդունվել և 1939 թվականին ավարտել է Բաքվի մանկավարժական ինստիտուտի հայկական բաժանմունքը։ 1939-1941 թվականներին աշխատել է Բաքվի «Խորհրդային գրող» ամսագրում որպես գրական աշխատող: Ունի շատ հետաքրքիր բանաստեղծություններ։ Մեզ հանձնարարված է սովորել <Հայաստան ասելիս> բանաստեղծությունը։

Հայաստան ասելիս այտերս այրվում են,
Հայաստան ասելիս ծնկներս ծալվում են,
Չգիտեմ` ինչու՞ է այսպես:

Հայաստան ասելիս շրթունքս ճաքում է,
Հայաստան ասելիս հասակս ծաղկում է,
Չգիտեմ` ինչու՞ է այսպես:

Հայաստան ասելիս աչքերս լցվում են,
Հայաստան ասելիս թևերս բացվում են,
Չգիտեմ` ինչու՞ է այդպես:

Հայաստան ասելիս աշխարհն իմ տունն է,
Հայաստան ասելիս էլ մահն ու՞մ շունն է.
Կլինե՛մ, կմնա՛մ այսպես:

September 15

Ախտահանության խնդիրը Քասախում-Երևանում

Ես Թամարան եմ, ապրում եմ Քասախում։Չեմ կարող բողոքել կամ դժգոհել տարածքի մաքրությունից,քանի որ այն նորմալ է իմ կարծիքով։ Աղբամանների պակասը իհարկե կա,քանի որ ես մտածում եմ, որ այդ խնդիրը կա համարյա բոլոր տարածքներում։Եթե տեղացիները այսպես ասած <փնթի> են, ուրեմն որտեղ էլ լինեն ախտահանության խնդիրը լինելու է։Եթե օրինակ,ես լինեմ քաղաքապետ կամ թաղապետ,կհրամայեմ,որ աղբամաններ տեղադրելուց բացի, կատարվեն շաբաթօրյակներ, բոլոր շենքի բնակիչները իրենք մաքրեն ու մաքուր պահեն իրենց շենքի թեկուզ փոքրիկ հատվածը։

Իսկ Երևանի մասին, միայն գիտեմ,ու հաճախ ինքս տեսել եմ շատ աղտոտված տեղեր, մարդիկ ուղղակի չեն հասկանում,որ աղբամանից այն կողմ, մայթերի վրա, ու շրջակա տարածքում աղբ նետել չի կարելի։Այդպես ոչ միայն բնությունն են աղտոտում, այլև վնասում են իրենք իրենց։Երևի թե այսքանը։Շնորհակալություն։